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La retta di Eulero


Cos’è la retta di Eulero

Qualche tempo fa leggendo la rubrica Il matematico impertinente di Piergiorgio Odifreddi sono venuto a conoscenza della retta di Eulero. L’articolo si trova sul numero di Maggio 2009 del mensile Le Scienze, ed è intitolato Dove i greci non arrivarono.

Il grande matematico Eulero si accorse nel 1767 che in un triangolo i tre punti notevoli baricentro, circocentro e ortocentro sono allineati. Da allora tale retta è conosciuta come la retta di Eulero. Naturalmente la retta è definita sempre tranne che per il triangolo equilatero per il quale i tre punti notevoli coincidono.

Per approfondimenti potete visitare la pagina di MathWorld, formidabile enciclopedia matematica ed il portale di Wikipedia.

Disegnare la retta di Eulero

Questa sorprendente proprietà dei triangoli euclidei, certamente non l’unica ad essere poco conosciuta proprio perché scoperta in tempi recenti e non dai greci, è un utile esercizio per completare il precedente post dal titolo Disegnare il baricentro del triangolo, utilizzando al solito il pacchetto grafico PGF in LaTeX.

Ortocentro

L’ortocentro è il punto O intersezione delle altezze del triangolo. Dato quindi un vertice del triangolo quello che serve è determinarne la proiezione normale sul lato opposto. Chiameremo Ao il punto proiezione del vertice A sulla retta per B e C. Tale punto può essere calcolato in PGF utilizzando la libreria calc: vediamone la sintassi:

Se vi ricordate, le coordinate del punto di mezzo di un segmento AB si calcolavano con la sintassi:

($(A)!0.5!(B)$)

Detto E un punto da proiettare sulla retta AB, la sintassi di calcolo prevede di inserire le coordinate di E che si esprimono tra parentesi tonde, tra punti esclamativi, dunque le coordinate della proiezione normale diventano:

($(A)!(E)!(B)$)

Applicato al caso del triangolo le altezze possono essere disegnate così:

% orthocenter
\coordinate (ao) at ($(B)!(A)!(C)$);
\coordinate (bo) at ($(A)!(B)!(C)$);
\coordinate (co) at ($(A)!(C)!(B)$);

\draw (A) -- (ao);
\draw (B) -- (bo);
\draw (C) -- (co);

Anche se è possibile accorpare la creazione del punto proiezione con il disegno dell’altezza scrivendo per esempio per il vertice A:

% compact syntax
\draw (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate (ao);

non faremo uso di questa notazione perché meno leggibile.

Circocentro

Il circocentro, punto d’intersezione degli assi dei lati del triangolo, è il più complesso da tracciare. Con riga e compasso avremo tracciato due cerchi di raggio uguale con centro gli estremi del segmento per trovare due punti intersezione delle circonferenze appertenenti al’asse. Anche se è possibile procedere allo stesso modo con PGF, è preferibile abbreviare la strada utilizzando l’operazione di rotazione:

se M è il punto di mezzo del segmento AB allora un secondo punto dell’asse di AB è il punto che si ottiene ruotando un estremo di 90° con centro in M. In PGF la sintassi è:

($(M)!1!90:(B)$)

che significa ruota il segmento MB su M di 90° (nel verso antiorario) ed aumenta la lunghezza del segmento risultante a partire da M del fattore tra punti esclamativi.

Dunque dai punti dell’asse delle mezzerie dei lati (chiamati a, b, c nel nostro caso), trovati i punti ortogonali per rotazione possiamo tracciare gli assi, così:

% circumcenter
% a, b, c medium point
% ax, bx, cx new point on axis
\coordinate (ax) at ($(a)!1!90:(C)$);
\coordinate (bx) at ($(b)!1!90:(A)$);
\coordinate (cx) at ($(c)!1!90:(B)$);

\draw (a) -- (ax);
\draw (b) -- (bx);
\draw (c) -- (cx);

Ora sappiamo come tracciare la retta di Eulero del triangolo.

Tracciamento finale

Tenete conto che il codice completo sottostante adotta un diverso colore delle linee di costruzione dei tre punti notevoli e regola in aumento lo spessore delle linee importanti come i lati del triangolo e la retta di Eulero stessa.

Eccone il listato con sottostante risultato scaricabile nel formato PDF:

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}

\pagestyle{empty}
\begin{document}

\begin{tikzpicture}
% triangle
\coordinate[label=left:{$A$}]  (A) at (  0, 0  );
\coordinate[label=below:{$B$}] (B) at (  6.5,-3.5);
\coordinate[label=above:{$C$}] (C) at (5, 7);

\draw[very thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;

\foreach \point in {A,B,C}
\fill [blue] (\point) circle (1.6pt);

% gravity center (centroid)
\node [fill=red,inner sep=0.8pt] (a) at ($ (C) !.5! (B) $) {};
\draw[red] (A) -- (a);
\node [fill=red,inner sep=0.8pt] (b) at ($ (A) !.5! (C) $) {};
\draw[red] (B) -- (b);
\node [fill=red,inner sep=0.8pt] (c) at ($ (A) !.5! (B) $) {};
\draw[red] (C) -- (c);

\coordinate [label=above right:{$G$}] (G) at (intersection of A--a and B--b);
\fill [red] (G) circle (2pt);

% orthocenter
\coordinate (ao) at ($(B)!(A)!(C)$);
\coordinate (bo) at ($(A)!(B)!(C)$);
\coordinate (co) at ($(A)!(C)!(B)$);

\draw[orange] (A) -- (ao);
\draw[orange] (B) -- (bo);
\draw[orange] (C) -- (co);

\coordinate [label=above:{$O$}] (O) at (intersection of A--ao and B--bo);
\fill [orange] (O) circle (2pt);

% circumcenter
\coordinate (ax) at ($(a)!1!90:(C)$);
\coordinate (bx) at ($(b)!1!90:(A)$);
\coordinate (cx) at ($(c)!1.5!90:(B)$);

\draw[green] (a) -- (ax);
\draw[green] (b) -- (bx);
\draw[green] (c) -- (cx);

\coordinate[label=below:{$M$}] (M) at (intersection of a-->ax and b--bx);
\fill [green] (M) circle (2pt);

% Euler line
\coordinate (e1) at ($(M)!1.5!(O)$);
\coordinate (e2) at ($(O)!1.5!(M)$);
\draw[very thick, blue] (e1) -- (e2);
\end{tikzpicture}

\end{document}
Euler Line

Euler Line

Curiosi per la circonferenza?

Potevamo rinunciare a tracciare la circonferenza circoscritta? Conosciamo infatti il centro che abbiamo chiamato alla fine M, e ben tre punti da cui passa, ovvero i vertici del triangolo.

Ebbene con una libreria aggiuntiva PGF da caricare nel preambolo con \usetikzlibrary{through} basta scrivere il comando:

\node (cc) at (M) [draw,circle through=(A)] {};

Ciao, ed alla prossima…

4 risposte a “La retta di Eulero

  1. A.L. 21/07/2009 alle 18:44

    Ciao robitex, 😉
    grazie per l’interessante articolo.

    Il pacchetto PGF/TikZ è uno strumento potentissimo di LaTeX; mi auguro di avere il tempo di studiarlo, un giorno.

    Ti saluto,
    Antonio

    P.S. Ti segnalo una piccola svista: manca \end{tikzpicture}. Ti avrei avvisato in privato, ma mi pare non ci sia un “contatto” sul sito.

    • robitex 21/07/2009 alle 21:57

      Grazie Antonio della segnalazione, ho corretto il codice. Purtroppo non posso consentire il download di file con estensione .tex perché la piattaforma wordpress non lo consente.
      Ciao.

      • A.L. 21/07/2009 alle 22:24

        Mi pare già un gran lavoro questo; oltretutto, grazie ai feed sono sempre aggiornato sugli ultimi articoli che pubblichi. Molto comodo.

        (In uno dei prossimi giorni, credo che commenterò l’articolo sul pannello solare.)

        Buon lavoro e buon LaTeX!

        Ciao,
        Antonio

  2. Pingback:Retta di Eulero: PSTricks vs PGF « Robitex’s Blog

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