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Coordinate del baricentro del triangolo


La medaglia geometrica

Con l’ausilio della geometria analitica si dimostra che il baricentro del triangolo è il punto intersezione delle mediane e che il baricentro suddivide il segmento di mediana con un rapporto 2:1.

Con questo risultato è piuttosto facile determinare le coordinate del baricentro in funzione di quelle dei vertici del triangolo. Tuttavia, una volta esaminato il concetto di momento statico (vedi questo post) è naturale volerlo impiegare per ricavare direttamente le coordinate di G.

Seguendo questa via, complicata solo dal punto di vista del calcolo, si può apprezzare l’eleganza e la bellezza della procedura analitica quasi a voler dimostrare che l’idea cartesiana e quella euclidea siano le facce di una stessa medaglia.

Le tappe della dimostrazione

Calcolare gli integrali doppi dei momenti statici relativi ad un triangolo è la via diretta ma non la più conveniente per il calcolo. Decidiamo quindi una variazione di strategia calcolando dapprima i momenti statici di un triangolo rettangolo con i cateti paralleli agli assi cartesiani e poi calcolando per i tre lati del triangolo generico i baricentri dei trapezi sottesi ai lati con gli assi coordinati.

Indicando con ( x_i,y_i ) con i= 1,2,3 le coordinate dei vertici del triangolo il risultato finale sarà naturalmente:

\displaystyle x_G = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}

\displaystyle y_G = \frac{y_1+y_2+y_3}{3}

e questo giustifica da solo le dimostrazioni di eleganza del lato cartesiano della geometria: la semplicità della media dei valori delle coordinate.

Momenti statici e triangolo rettangolo

L’integrale del momento statico riferito all’asse x è analogo a quello y pertanto svilupperemo i calcoli solo per il primo asse coordinato.

Dunque S_y=\int_A y\, dA = \frac{b h^2}{6} dove b è la misura della base lungo x ed h è la misura dell’altro cateto. Dividendo tale valore per l’area del triangolo si trova che la distanza del baricentro dall’asse x vale h/3.

Momenti statici e triangolo generico

Consideriamo il trapezio formato da un lato del triangolo, dalla sua proiezione sull’asse x di lunghezza b e dai segmenti verticali di misura h_1 ed h_2 passanti per gli estremi di detti segmenti.

Il momento statico di detto trapezio suddiviso nel triangolo rettangolo e nel sottostante rettangolo vale:

\displaystyle S_y=\frac{b}{6} \cdot (h_1^2 + h_1 h_2 + h_2^2).

Sommando i contributi con segno dei momenti statici di questi trapezi e dividendo per l’area della figura troviamo il risultato indicato in apertura.
Anche quì la simmetria delle espressioni va di pari passo con la simmetria degli oggetti geometrici…

Il dettaglio dei passaggi sono riportati in questo documento: Triangle centroid coordinate in formato PDF (composto con LaTeX). Vi lascio il compito di dimostrare che le coordinate del baricentro soddisfano l’equazione della retta mediana.

Buona lettura.

Una risposta a “Coordinate del baricentro del triangolo

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