Robitex's Blog

Ideas in the web

L’area del triangolo dalle coordinate dei vertici


Scarica l’articolo in PDF per la stampa

L’area dalle coordinate?

A pensarci questo è un problema forse poco noto. L’area del triangolo può essere facilmente ottenuta calcolando le lunghezze dei lati a partire dalle coordinate dei vertici ed applicando la più famosa formula di Erone.
Ma è molto più semplice impiegare direttamente le coordinate…

Primo metodo

Il metodo utilizzato in questo post per determinare il baricentro del triangolo con il calcolo dei momenti statici consiste nel sommare il contributo con segno relativo a ciascun lato della figura considerando il trapezio che esso forma con l’asse cartesiano scelto.

Va bene, ma può essere utilizzato per determinare l’area del triangolo conoscendone le coordinate dei vertici?

Indichiamo i vertici con i numeri 1, 2, e 3, in questo modo sarà più semplice scrivere le coordinate dei vertici: 1 \equiv (x_1,y_1); 2\equiv (x_2,y_2); 3\equiv(x_3,y_3).

Dunque il trapezio sotteso al lato 12 ha area:

\displaystyle A_{12}=\frac{1}{2}(x_1 - x_2)(y_1 + y_2).

Sommando le aree dei trapezi relativi ai tre lati otterremo l’area del triangolo. Occorre percorrere i lati in senso orario così da ottenere i giusti segni per le aree dei trapezi.

L’espressione finale piuttosto simmetrica è dunque:

\displaystyle A= \frac{1}{2}(x_1y_2 - x_2y_1 + x_2 y_3 - x_3 y_2 + x_3y_1 - x_1y_3).

I sei termini della relazione dell’area ricordano i determinanti di matrici 2 x 2. Il primo termine infatti può esser visto anche come:

\displaystyle \begin{vmatrix}x_1&x_2\\ y_1&y_2\end{vmatrix}

così alla fine l’area la possiamo riscrivere anche nella forma facile da ricordare e compatta (che bellezza, è un vero portento di eleganza):

\displaystyle A=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&1&1\\ x_1&x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3\end{vmatrix}.

Se non siete pratici con determinanti e matrici sappiate che non è difficile imparare le basi dell’algebra lineare.

Secondo metodo

Il problema si può anche trattare con i vettori, ricordando che la norma del prodotto vettoriale è l’area del parallelogrammo da essi formato. Infatti il prodotto dei vettori di \boldsymbol{u}\times \boldsymbol{v} ha norma pari a uv\sin{\alpha}, dove \alpha è l’angolo da essi formato.

Se consideriamo i due vettori che hanno in comune il primo estremo coincidente con un vertice del triangolo e come secondo estremo i rimanenti distinti vertici, sarà sufficiente calcolare la norma del loro prodotto vettoriale per poi dividerla per due.

In termini espliciti considerando il triangolo appartenente al piano xy (con questo metodo è possibile determinare l’area di un triangolo comunque posizionato nello spazio tridimensionale), sappiamo che il vettore \overrightarrow{12} ha componenti (x_2-x_1;y_2-y_1), che il vettore \overrightarrow{13} ha componenti (x_3-x_1;y_3-y_1), e che il prodotto vettoriale fra essi è il vettore dato dal determinante (che coincidenza, ancora un determinante):

\displaystyle \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k \\ x_2-x_1&y_2-y_1&0\\ x_3-x_1&y_3-y_1&0\end{vmatrix}

che risolto fornisce direttamente la norma del prodotto poiché questo avrà una sola componente diretta come l’asse z che è:

\displaystyle (x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)

che fornisce appunto la conferma alla formula precedente.

Notate come il determinate della formula compatta dell’area del triangolo si trasforma sommando le colonne immediatamente nell’espressione sovrastante.

La matematica non finisce mai di stupire non è vero…?
Ciao.

Lascia un commento

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

%d blogger cliccano Mi Piace per questo: