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Il fiocco di Von Koch in METAPOST


La curva di Von Koch

Il bellissimo fiocco di neve di Niels Fabian Helge von Koch, matematico svedese vissuto a cavallo del 1900, è una delle prime strutture frattali mai descritte.

Naturalmente è utile consultare la pagina web sull’argomento su wikipedia e quella dedicata da Wolfram MathWorld, ma certo non sarà difficile reperire in rete altre notizie se ancora non bastasse.

Si tratta di una curva chiusa di perimetro infinito ma di area finita, molto nota. Potevamo perdere l’occasione di generarla in METAPOST?

Effettivamente la curva si può costruire con il pacchetto METAOBJ, ma come problema ricorsivo non è male da implementare con quello che sappiamo già dai precedenti post.

La costruzione

Per ciascun lato di un triangolo equilatero si trovano i due punti che lo dividono in tre parti uguali, poi si costruisce il triangolo equilatero il cui lato è il segmento centrale che poi si elimina, e si reitera all’infinito su tutti i nuovi segmenti.

Building the Von Koch's curve

Building the Von Koch's curve

Come si vede dalla figura qui sopra il procedimento è semplice, ed avremo potuto introdurlo su un solo segmento. Si vedono le curve di Von Koch di livello 0, 1 e 2, con rispettivamente 3, 12, e 48 segmenti distinti.

METAPOST in action

Diciamo che nella variabile numerica lato memorizziamo la lunghezza del lato del triangolo di base che darà origine alla curva di Von Koch snowflake. Il codice per disegnare l’iterazione successiva deve trovare i due punti intermedi sul lato e costruire il triangolo equilatero sul terzo medio. Ecco il codice METAPOST:

beginfig(1);
numeric lato;
lato := 100;

pair a,b,p,q,r;

a := origin;
b := (lato,0);
p := 1/3[a,b];
q := 1/3[b,a];
r := q rotatedabout(p,-60);

draw a--p--r--q--b
withcolor .625red;
endfig;
end

Abbiamo fatto uso della comoda notazione per ricavare i punti P e Q che tripartiscono il segmento AB disteso sull’asse x e di lunghezza lato, e l’altrettanto comoda funzione rotatedabout() non nativa ma costruita con trasformazioni elementari, con la quale si crea il punto R, vertice del triangolo di prima iterazione.

Non rimane che costruire la funzione ricorsiva.
Faremo così: accetteremo in input i punti estremi del segmento ed il livello fino a cui la funzione disegnarà la curva di Koch, e su questo baseremo il controllo di terminazione della ricorsione:

se il livello richiesto è zero, allora disegna il segmento AB, altrimenti trova i punti intermedi P, Q ed R e lancia la funzione stessa sui quattro sotto lati AP, PR, RQ e QB.

Invece di elaborare oggetti path lavoriamo così più semplicemente sui punti vertice della curva. Lo stack delle chiamate ricorsive ci darà gratis l’ordine di disegno tra i punti fino al livello desiderato.

Il numero dei segmenti disegnati n è una funzione esponziale del livello v, si ha infatti (per il numero dei segmenti della la curva di Kock completa moltiplicare ulteriormente per 3):

\displaystyle n = 4^v

Ecco il codice completo:

beginfig(1);
pickup pencircle scaled .75pt;

vardef koch(expr aa,zz,level)=
save p,q,r;
pair p,q,r;

if level=0:
draw aa -- zz
withcolor .625red;
else:
p := 1/3[aa,zz];
q := 1/3[zz,aa];
r := q rotatedabout(p,-60);

koch(aa, p,level-1);
koch( p, r,level-1);
koch( r, q,level-1);
koch( q,zz,level-1);
fi
enddef;

numeric lato ;
numeric n;

lato := 420pt;
n := 5;
koch( origin   , (lato,0)     , n);
koch( (lato,0) , lato*dir(60) , n);
koch( lato*dir(60) , origin  , n);

endfig;
end

dove abbiamo utilizzato una macro vardef dando istruzione di utilizzo di p, q, ed r come variabili locali (comando save).

Pronti a scaricare il risultato nel formato PDF? Fate click allora sull’immagine sottostante.

A Von Koch flake with level 5

A Von Koch flake with level 5

Alla prossima.

Una risposta a “Il fiocco di Von Koch in METAPOST

  1. Pingback:Metapost: proiezione punto su retta « Robitex's Blog

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