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Il terremoto come fenomeno poissoniano: il tempo di ritorno


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Probabilità poissoniana di accadimento

La distribuzione poissoniana delle probabilità ipotizza che se un evento è del tutto casuale, allora la probabilità che accada n volte nel periodo T è data dalla relazione seguente, noto il valore di y, il numero medio di accadimenti nel periodo considerato:

\displaystyle p_{n}=\frac{y^n}{n!}e^{-y}.

Se per esempio un evento casuale capita mediamente una volta l’anno (y=1), la probabilità che capiti due volte l’anno è di soli 18,4%.

La probabilità dipende quindi dall’intervallo di tempo di riferimento V_R, periodo in cui è noto il numero medio di accadimenti dell’evento casuale.
Se dividiamo il numero medio di accadimenti con il periodo ad esso correlato, otteniamo la frequenza media di accadimento dell’evento \lambda.

\displaystyle y=\lambda V_R.

Se invece al contrario, dividiamo il periodo di riferimento con il numero medio di accadimenti, otteniamo l’intervallo di tempo medio tra gli accadimenti dell’evento. Questo intervallo è chiamato periodo di ritorno T_R.
Il periodo di ritorno e la frequenza sono uno l’inverso dell’altro.

Chiediamoci ora la probabilità che l’evento casuale non si verifichi nel periodo di riferimento. La relazione di Poisson per nessun evento diventa (zero fattoriale vale 1):

\displaystyle p_{0}=\frac{(\lambda V_R)^0}{0!}e^{-\lambda V_R}=e^{-\lambda V_R}.

Il complemento ad uno di p_0 è la probabilità che almeno un evento si verifichi nel periodo considerato, in formule:

\displaystyle p_{n \geq 1}=p_{VR}=1-e^{-\lambda V_R}.

Questa relazione ci permette di ottenere la relazione tra il periodo di ritorno e la probabilità di superamento, fissato il periodo di riferimento. Con qualche semplice passaggio:

\displaystyle T_R=-\frac{V_R}{\log(1-p_{VR})}.

Le curve di frequenza/probabilità

Mettiamo su un grafico semi-logaritmico, quello che abbiamo appena trattato con il pacchetto PGFPlots, un componente software utilizzabile all’interno di un documento LaTeX, con l’ausilio di Gnuplot per sopperire alle capacità di calcolo di TeX.
Operativamente, occorre scrivere il testo sintatticamente corretto (il codice) che successivamente viene elaborato da pdflatex per produrre il grafico nel formato pdf (fate click sull’immagine sottostante per scaricare il risultato).

Probabilità poissoniana di un evento puramente casuale

Dal punto di vista della dotazione software, occorre una distribuzione TeX in configurazione abbastanza completa e recente (TeX Live 2010), gnuplot ed (opzionale) la suite Image Magick per tradurre il pdf in un file immagine. Tutti i programmi citati sono liberi e disponibili per vari sistemi operativi, compreso Windows.
Una volta copiato il codice in un file di testo, chiamato per fissare le idee pvr.tex, la sequenza completa dei comandi da terminale sarà:

$ pdflatex -shell-escape pvr
$ pdfcrop --margin=3 pvr.pdf pvr.pdf
$ convert -density 120 pvr.pdf pvr.png

Un breve commento al codice: si può arrivare abbastanza velocemente a scriverlo con un po’ di lavoro di rifinitura come vedete dalla sfilza di opzioni passate all’ambiente semilogxaxis. Una volta che si sono decisi i dettagli del grafico, risulta molto semplice plottare le funzioni. Basta costruire il comando \addplot gnuplot dando le opzioni di identificazione (id) e l’intervallo di dominio e scrivere l’espressione della funzione voluta. Anzi, a ben vedere si tratta di un’ottima interfaccia a gnuplot, per costruire grafici in formato vettoriale (pdf).

\documentclass{minimal}
\usepackage{pgfplots}
\thispagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\begin{semilogxaxis}[
    xlabel={Frequenza media nel periodo, $\lambda=1/T_R$},
    ylabel={Probabilit\'a per $n\geq1$, $p_{V_R}$},
    ytick={0,0.2,0.4,0.6,0.8,1},
    yticklabels={0\%,20\%,40\%,60\%,80\%,100\%},
    grid=both,
    xmin=0.001,
    xmax=0.1,
    ymin=0,
    ymax=1,
    no markers,
    line width=1pt,
    width=15cm,
    height=9cm,
    smooth,
    legend pos=north west]
    
\addplot gnuplot[id=pvriv,domain=0.001:0.1] {1-exp(-x*200)};
\addlegendentry{$V_R = 200$ anni};

\addplot gnuplot[id=pvriii,domain=0.001:0.1]{1-exp(-x*100)};
\addlegendentry{$V_R = 100$ anni};

\addplot gnuplot[id=pvrii,domain=0.001:0.1] {1-exp( -x*50)};
\addlegendentry{$V_R = 50$ anni};

\addplot gnuplot[id=pvri,domain=0.001:0.1]  {1-exp( -x*10)};
\addlegendentry{$V_R = 10$ anni};

\end{semilogxaxis}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Probabilità dell’evento sismico

Il terremoto non è un evento puramente casuale per il semplice fatto che il susseguirsi degli eventi sismici di una stessa regione, narra la storia evolutiva delle strutture di faglia e quindi non sono eventi indipendenti uno dall’altro ne eventi puramente casuali.

Tuttavia la nuova normativa tecnica D.M. 14 gennaio 2008, fa l’assunzione che la probabilità di accadimento del terremoto sia poissoniana, usufruendo della semplicità matematica del modello ma commettendo un errore considerato comunque accettabile.
Infatti in una stessa regione, per intervalli di tempo dell’ordine di qualche migliaia d’anni, è ragionevole supporre che le faglie attive continuino ad evolversi costantemente nel tempo mantenendo immutate le velocità relative ed i meccanismi d’interazione.
Nel lungo periodo invece i mutamenti di placche e microplacche della crosta comportano che le faglie aumentino o diminuiscano la loro pericolosità. Nel futuro ci attenderà un assetto completamente mutato, ma per raggiungerlo i passi sono talmente piccoli che possiamo approssimarli a nessun movimento.

Allora possiamo rispondere alla domanda: qual’è la probabilità che almeno un evento sismico con periodo di ritorno di 475 anni si verifichi nell’intervallo di 50 anni (intervallo in cui una costruzione può dirsi efficiente)?

\displaystyle p_{VR}=1-e^{-50/475}=0.10

La risposta è quindi il 10% (corrisponde allo Stato limite di salvaguardia della vita per il periodo di riferimento di 50 anni), ed è chiamata nel linguaggio della norma probabilità di superamento (o di eccedenza).
Terremoti più intesi avranno un tempo di ritorno più lungo e di conseguenza probabilità più piccole di verificarsi nel periodo di riferimento, ed è appunto questo il fenomeno che misuriamo con la legge delle probabilità di Poisson.

Conclusioni: le norme tecniche e la ricerca

Le nuove normative tecniche (Eurocodici ed NTC 2008) mettono in risalto ancor di più la tendenza non tanto ad essere prestazionali nell’approccio alla sicurezza, ma soprattutto a discendere direttamente ed esclusivamente dalle trattazioni scientifiche dei problemi. In conseguenza è possibile ritrovare l’origine e le motivazioni nascoste delle prescrizioni e ciò rende il processo normativo maggiormente trasparente, chiarendo quali ipotesi sono state assunte ed il loro contesto di validità.

Con l’avanzamento delle conoscenze, le norme tecniche divengono sempre più aderenti alla complessità dei fenomeni e questo esige una sempre maggiore preparazione di base da parte dei progettisti e, poiché la ricerca scientifica è un fatto internazionale, tendono ad essere sempre più somiglianti una con l’altra.

Dunque l’ampliarsi di quelle che sono le capacità di fare, in altri termini l’ampliarsi dell’ingegneria, induce di conseguenza alla specializzazione dei progettisti, a cui è affidato il difficile compito di mantenere l’equilibrio tra profondità ed ampiezza della conoscenza, ed un uniformarsi delle normative che svolgono una vera e propria selezione naturale dei risultati delle ricerche prodotte nel mondo.

8 risposte a “Il terremoto come fenomeno poissoniano: il tempo di ritorno

  1. ansys 10/02/2011 alle 13:31

    Ciao Roberto, gran bel sito. Ogni tanto ci passo per vedere le tue opere con LaTeX. Perché non scrivi qualcosa su pgfplots? Magari per ArsTeXnica?

    Ciao,
    ansys.

    • robitex 10/02/2011 alle 13:46

      Grazie davvero ansys!
      Ho già scritto in passato (2008) un articolo per ArsTeXnica e so quanto sia bello, ma in questo periodo non me lo posso permettere, come dimostra il fatto che ho già almeno due articoli per Ars incompiuti per mancanza di tempo.
      Piuttosto spero che si sviluppino per me nuove collaborazioni su articoli per ArsTeXnica in modo da contribuire senza che la mole di lavoro non renda le cose troppo impegnative per il singolo. Su PGFplots potremo lavorare con Agostino De Marco e chissà, forse lui un articolo del genere lo sta già scrivendo.
      O forse sarà possibile utilizzare il nuovo sito del GuIT per rilasciare codice prototipo già pronto (è uno degli obbiettivi fissati per il prossimo futuro).
      Ciao!

      • ansys 10/02/2011 alle 14:06

        Allora aspetto con ansia gli articoli che sono per strada. Al momento anche io sono impegnato abbastanza con la tesi e quindi non riesco a scrivere nulla (ho dovuto mettere da parte un progetto che prima o poi uscirà), ma sopratutto non ho l’esperienza che hai tu, anche se bisogna dirlo: PGFplots ha un manuale fatto davvero bene, basta solo leggerlo.
        Sono anche ansioso di vedere le novità del GuIT, purtroppo dell’ultimo meeting non c’era KB a fare i podcast.
        Sono sicuro che l’attesa sarà ben ricompensata.
        Alla prossima,
        ansys.

  2. Agostino 22/02/2011 alle 14:34

    Dai Roberto, scriviamolo questo contributo sui pgfplots! Abbiamo una bella scusa per il meeting😉
    Piccolo commento sul grafico di cui sopra: occhio all’accento in “Probabilità”.
    Ciao,
    Agostino

    • robitex 22/02/2011 alle 15:02

      D’accordo ma solo se ti prendi tutto il merito!!!🙂
      Non mi posso mica perdere questa occasione, sto già pensando alla struttura delle sezioni.
      La preparo stasera e te la mando per cominciare ad organizzarci.
      Grazie e ciao.

      • Agostino 22/02/2011 alle 15:42

        propongo questa sezione: “Uso avanzato di pgfplots attraverso lualatex”😉

      • robitex 22/02/2011 alle 15:57

        Si, sono d’accordo.
        Lua fa i calcoli con la libreria interna math, e pgfplots costruisce il grafico.
        o, più in generale, Lua pensa ai dati e pgfplots pensa ai grafici con essi.
        PS. ho visto l’accento sbagliato (non so mai quale apice devo usare😦 )

  3. Agostino 22/02/2011 alle 16:11

    \usepackage[utf8]{inputenc}

    e non ci pensi pi\`u… ops più😉

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