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Potenze di somme


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L’elegante espressione

Stavo leggendo le prime pagine del libro di Lev Landau dedicato alla teoria dell’elasticità (il volume 7 del suo corso di Fisica pubblicato in Italia da Editori Riuniti), e mi sono imbattuto in un’espressione matematica interessante. Si tratta del quadrato di un trinomio espresso come somma di prodotti.

Sappiamo che l’espressione del quadrato della somma di tre termini è:

\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2= x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1 x_2+2x_1 x_3+2x_2 x_3.

Nel libro di Lev Landau la potenza della somma è rapprensentata come:

\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2=\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 x_i x_j.

La mia prima impressione è stata quella che qualcosa non tornasse perché quando nella sommatoria gli indici si incrociano ottengo i termini del doppio prodotto con un appropriato fattore 2 mentre i termini quadrati ottenuto con indici uguali assumevano tale fattore ingiustamente. In realtà l’espressione è perfettamente corretta perché i due indici i e j sono sempre unici nella combinazione, solo che quando sono diversi danno luogo a due termini uguali. Per esempio per la coppia 1,2 ottengo il termine x_1 x_2 che si somma con il termine x_2 x_1 quando gli indici diventano appunto 2, 1, mentre esiste una sola combinazione che genera il termine x_1^2, quando gli indici sono entrambe pari ad uno.

In generale, se n è il numero dei termini che sommati sono elevati al quadrato, il numero dei termini dello sviluppo risultante della doppia sommatoria è n^2 di cui n sono i termini quadratici e n^2-n sono i termini misti ma solo la metà di essi risultano distinti. In definitiva la doppia sommatoria produce gli (n^2+n)/2 termini dello sviluppo del quadrato. Nel nostro caso n vale 3 per cui lo sviluppo conta 6 termini.

Facile è dimostrare l’elegante espressione infatti il quadrato della somma si può scrivere come:

\displaystyle \left(\sum_i x_i\right)^2=\sum_i x_i \sum_j x_j,

dove abbiamo introdotto un secondo indice j in sostituzione del primo in uno dei due termini uguali del prodotto. A questo punto otteniamo la dimostrazione riscrivendo l’espressione precedente spostando il termine x_i all’interno della sommatoria con indice j essendo in effetti una costante nei riguardi di quest’ultima somma:

\displaystyle \sum_i x_i \sum_j x_j= \sum_i \sum_j x_i x_j.

Estensione

Il libro sull’elasticità utilizza la simbologia compatta detta notazione di Einstein, per la quale si ommettono nelle espressioni matematiche le sommatorie intendendo che termini con indici vanno sommati rispetto ad essi. L’espressione in forma compatta che abbiamo incontrato prima si scrive semplicemente come (x_i)^2=x_i x_j.

La regola si può estendere per potenze intere qualsiasi di un numero qualsiasi di termini. Per esempio il cubo del trinomio può essere scritto come una tripla sommatoria del prodotto ternario:

\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^3=x_i x_j x_k.

Il numero di sommatorie ed il numero dei termini del prodotto è pari a quello dell’esponente della potenza, mentre il numero dei termini della somma compare come indice finale delle sommatorie (implicite) stesse.

Come ulteriore esempio, la quinta potenza del binomio sarà quindi espressa da:

\displaystyle (x_1+x_2)^5=x_i x_j x_k x_l x_m

Conclusione

A parte il fatto che l’argomento del post sembra essere interessante, vorrei concludere dicendo che le scienze applicate come la fisica o l’ingegneria sanno essere un continuo generatore di idee e di problemi per la matematica e, naturalmente, che vale anche l’opposto. Non si è quindi mai sicuri nel ritenere un’astrusa teoria matematica come perfettamente inutile o nel pensare che una nuova teoria fisica non richieda la generazione di nuovi risultati assolutamente inattesi per la scienza esatta.

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