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Un brindisi matematico…


Una risposta estremamente difficile

Ecco la domanda:

Se brindano n persone quanti cin faranno i loro bicchieri?

Una domanda certamente fondamentale per il proseguo la cui risposta necessita di impegno estremo.

Sia B(n) la funzione che fornisce il risultato, allora considerando il punto di vista di un singolo partecipante al brindisi, egli effettuerà un cin cin con tutti gli altri ovvero n-1 tocchi e lui potrà dirsi soddisfatto. Rimarranno allora i brindisi seguenti:

\displaystyle B(n) = n-1 + B(n-1)

Applicando lo stesso ragionamento al gruppo rimanente, di fatto un ragionamento ricorsivo, dovranno essere ancora compiuti B(n-1)=n-2+B(n-2) brindisi.

Si finirà di brindare quando rimarranno due sole persone che faranno un unico tocco, allora:

\displaystyle B(n) = \sum_{i=1}^{n-1} i

Il risultato è che il numero dei brindisi in un gruppo di n persone è la somma dei numeri da 1 a n-1. Per esprimere la somma con una semplice espressione seguiamo il ragionamento del giovanissimo Gauss.
Su n, sommiamo il primo termine, ovvero il numero 1 e l’ultimo termine quindi n ed otteniamo naturalmente 1+n. Così facciamo per il secondo ed il penultimo termine della somma 2+(n-1)=1+n. Alla fine la somma è sempre il termine n+1 moltiplicato per le coppie il cui numero è n/2 ovvero:

\displaystyle (n+1)\frac{n}{2}

Tornando al numero dei brindisi fra n persone, dovremo sostituire alla relazione precedente ad n il termine n-1 ottenendo il risultato tanto atteso:

\displaystyle B(n)=n\frac{n-1}{2}

Altro percorso di dimostrazione

La cosa si fa più interessante se immaginiamo i brindisi tra le persone come rami di relazioni. questo punto di vista non si riferisce alla singola persona come quello precedente ma all’insieme intero delle relazioni.

Tutte le relazioni tra n persone, possono essere rappresentate in una griglia quadrata n \times n dove le righe e le colonne sono riferite a tutte le singole persone.
Così per esempio la cella della riga relativa alla persona A e della colonna relativa alla persona B, rappresenta il brindisi tra la A e B.

Ogni cella rappresenta una relazione di brindisi ma dobbiamo escludere quelle che si trovano sulla diagonale principale della griglia (quelle in cui la persona sulla riga è la stessa di quella della colonna) perché è escluso che si possa contare anche il brindisi con se stessi.

Delle celle rimanenti ne possiamo considerare tuttavia solo la metà perché se esiste la relazione di brindisi A \to B esisterà anche la relazione B \to A sulla griglia ma delle due ne possiamo conteggiare solo una perché si tratta delle stesso brindisi (ramo di relazione non orientato).

Una rappresentazione grafica della griglia è riportatata di seguito per 5 persone denominate da A a E, dove col pallino rosso sono evidenziate le celle di auto-relazione mentre con i quadratini verdi e blu sono evidenziate le relazioni doppie da contare solo una volta.

La griglia dei brindisi

La griglia dei brindisi

Alla fine ritroviamo elegantemente la relazione per il conteggio dei brindisi tra n persone:

\displaystyle B(n)=\frac{n^2-n}{2}.

Con questo punto di vista il numero dei brindisi non è altro che il numero delle celle della griglia che si trovano sotto oppure sopra alla diagonale principale (il numero dei quadratini di uno stesso colore se ci riferiamo all’immagine presentata che potete scaricare nel formato pdf da qui, se invece vi interessa il codice che l’ha generata consultare questo post sul forum del GuIT).

Epilogo

Se alla prossima festa siete in 12 preparatevi dunque a 66 rintocchi di bicchieri!
Alla salute!!!

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