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L’area del triangolo dalle coordinate dei vertici


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L’area dalle coordinate?

A pensarci questo è un problema forse poco noto. L’area del triangolo può essere facilmente ottenuta calcolando le lunghezze dei lati a partire dalle coordinate dei vertici ed applicando la più famosa formula di Erone.
Ma è molto più semplice impiegare direttamente le coordinate…

Primo metodo

Il metodo utilizzato in questo post per determinare il baricentro del triangolo con il calcolo dei momenti statici consiste nel sommare il contributo con segno relativo a ciascun lato della figura considerando il trapezio che esso forma con l’asse cartesiano scelto.

Va bene, ma può essere utilizzato per determinare l’area del triangolo conoscendone le coordinate dei vertici?

Indichiamo i vertici con i numeri 1, 2, e 3, in questo modo sarà più semplice scrivere le coordinate dei vertici: 1 \equiv (x_1,y_1); 2\equiv (x_2,y_2); 3\equiv(x_3,y_3).

Dunque il trapezio sotteso al lato 12 ha area:

\displaystyle A_{12}=\frac{1}{2}(x_1 - x_2)(y_1 + y_2).

Sommando le aree dei trapezi relativi ai tre lati otterremo l’area del triangolo. Occorre percorrere i lati in senso orario così da ottenere i giusti segni per le aree dei trapezi.

L’espressione finale piuttosto simmetrica è dunque:

\displaystyle A= \frac{1}{2}(x_1y_2 - x_2y_1 + x_2 y_3 - x_3 y_2 + x_3y_1 - x_1y_3).

I sei termini della relazione dell’area ricordano i determinanti di matrici 2 x 2. Il primo termine infatti può esser visto anche come:

\displaystyle \begin{vmatrix}x_1&x_2\\ y_1&y_2\end{vmatrix}

così alla fine l’area la possiamo riscrivere anche nella forma facile da ricordare e compatta (che bellezza, è un vero portento di eleganza):

\displaystyle A=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&1&1\\ x_1&x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3\end{vmatrix}.

Se non siete pratici con determinanti e matrici sappiate che non è difficile imparare le basi dell’algebra lineare.

Secondo metodo

Il problema si può anche trattare con i vettori, ricordando che la norma del prodotto vettoriale è l’area del parallelogrammo da essi formato. Infatti il prodotto dei vettori di \boldsymbol{u}\times \boldsymbol{v} ha norma pari a uv\sin{\alpha}, dove \alpha è l’angolo da essi formato.

Se consideriamo i due vettori che hanno in comune il primo estremo coincidente con un vertice del triangolo e come secondo estremo i rimanenti distinti vertici, sarà sufficiente calcolare la norma del loro prodotto vettoriale per poi dividerla per due.

In termini espliciti considerando il triangolo appartenente al piano xy (con questo metodo è possibile determinare l’area di un triangolo comunque posizionato nello spazio tridimensionale), sappiamo che il vettore \overrightarrow{12} ha componenti (x_2-x_1;y_2-y_1), che il vettore \overrightarrow{13} ha componenti (x_3-x_1;y_3-y_1), e che il prodotto vettoriale fra essi è il vettore dato dal determinante (che coincidenza, ancora un determinante):

\displaystyle \begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k \\ x_2-x_1&y_2-y_1&0\\ x_3-x_1&y_3-y_1&0\end{vmatrix}

che risolto fornisce direttamente la norma del prodotto poiché questo avrà una sola componente diretta come l’asse z che è:

\displaystyle (x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)

che fornisce appunto la conferma alla formula precedente.

Notate come il determinate della formula compatta dell’area del triangolo si trasforma sommando le colonne immediatamente nell’espressione sovrastante.

La matematica non finisce mai di stupire non è vero…?
Ciao.

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Coordinate del baricentro del triangolo


La medaglia geometrica

Con l’ausilio della geometria analitica si dimostra che il baricentro del triangolo è il punto intersezione delle mediane e che il baricentro suddivide il segmento di mediana con un rapporto 2:1.

Con questo risultato è piuttosto facile determinare le coordinate del baricentro in funzione di quelle dei vertici del triangolo. Tuttavia, una volta esaminato il concetto di momento statico (vedi questo post) è naturale volerlo impiegare per ricavare direttamente le coordinate di G.

Seguendo questa via, complicata solo dal punto di vista del calcolo, si può apprezzare l’eleganza e la bellezza della procedura analitica quasi a voler dimostrare che l’idea cartesiana e quella euclidea siano le facce di una stessa medaglia.

Le tappe della dimostrazione

Calcolare gli integrali doppi dei momenti statici relativi ad un triangolo è la via diretta ma non la più conveniente per il calcolo. Decidiamo quindi una variazione di strategia calcolando dapprima i momenti statici di un triangolo rettangolo con i cateti paralleli agli assi cartesiani e poi calcolando per i tre lati del triangolo generico i baricentri dei trapezi sottesi ai lati con gli assi coordinati.

Indicando con ( x_i,y_i ) con i= 1,2,3 le coordinate dei vertici del triangolo il risultato finale sarà naturalmente:

\displaystyle x_G = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}

\displaystyle y_G = \frac{y_1+y_2+y_3}{3}

e questo giustifica da solo le dimostrazioni di eleganza del lato cartesiano della geometria: la semplicità della media dei valori delle coordinate.

Momenti statici e triangolo rettangolo

L’integrale del momento statico riferito all’asse x è analogo a quello y pertanto svilupperemo i calcoli solo per il primo asse coordinato.

Dunque S_y=\int_A y\, dA = \frac{b h^2}{6} dove b è la misura della base lungo x ed h è la misura dell’altro cateto. Dividendo tale valore per l’area del triangolo si trova che la distanza del baricentro dall’asse x vale h/3.

Momenti statici e triangolo generico

Consideriamo il trapezio formato da un lato del triangolo, dalla sua proiezione sull’asse x di lunghezza b e dai segmenti verticali di misura h_1 ed h_2 passanti per gli estremi di detti segmenti.

Il momento statico di detto trapezio suddiviso nel triangolo rettangolo e nel sottostante rettangolo vale:

\displaystyle S_y=\frac{b}{6} \cdot (h_1^2 + h_1 h_2 + h_2^2).

Sommando i contributi con segno dei momenti statici di questi trapezi e dividendo per l’area della figura troviamo il risultato indicato in apertura.
Anche quì la simmetria delle espressioni va di pari passo con la simmetria degli oggetti geometrici…

Il dettaglio dei passaggi sono riportati in questo documento: Triangle centroid coordinate in formato PDF (composto con LaTeX). Vi lascio il compito di dimostrare che le coordinate del baricentro soddisfano l’equazione della retta mediana.

Buona lettura.

Significato fisico del momento statico


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Il significato dimenticato

A volte alcuni concetti matematici vengono studiati e poi ripetutamente applicati per la risoluzione di importanti problemi tecnici. Il concetto di baricentro per esempio, è essenziale nel calcolo di progetto di una trave di un ponte, tuttavia ciò facendo si può perdere la consapevolezza del significato fisico originario di baricentro ovvero di momento statico.

Calcoliamo il momento statico di una figura scomponendola in figure elementari per ottenerne il centro di massa complessivo, senza chiederci cosa sia. In questo post vogliamo porre rimedio a questa potenziale lacuna…

Definizione geometrica di momento statico

Il momento statico o momento del primo ordine di una figura dal dominio V, con riferimento ad un piano \gamma, è l’integrale:

\displaystyle S_\gamma=\int_V h_\gamma \, dV.

dove h_\gamma è la distanza ortogonale con segno del punto della figura dal piano \gamma. In sostanza si tratta del prodotto di un volume per la sua distanza dal piano di riferimento.

Momento statico e sistema di masse puntiformi

Per un sistema di masse puntiformi m_1, m_2, \dots, m_k il momento statico rispetto ad un piano \gamma è la somma dei prodotti delle masse per la rispettiva distanza h_i dal piano considerato. In formule:

\displaystyle S_\gamma = \sum_i^k m_i h_i.

Dividendo il momento statico per la massa totale del sistema si ottiene la distanza del baricentro da quel piano \gamma, quindi se si considerano tre piani a due a due non paralleli si determina la posizione del baricentro del sistema di masse dalla loro intersezione.

Sistemi equivalenti

Due sistemi vettoriali sono equivalenti se hanno la stessa somma (risultante) e se rispetto ad un polo, hanno lo stesso momento.

Per capire quale sia il significato fisico del momento statico, introduciamo un sistema di vettori paralleli \boldsymbol{v_i} applicati nei punti P_i, e ricerchiamone un secondo sistema equivalente composto da un unico vettore. Indichiamo anche con \boldsymbol{u} il versore relativo alla direzione dei vettori, quindi tale che \boldsymbol{v_i}= m_i \boldsymbol{u}, dove lo scalare m_i è appunto la componente vettoriale.

La risultante, somma dei vettori \boldsymbol{v_i} è il vettore \boldsymbol{V} che si scrive:

\boldsymbol{V} = \sum_i \boldsymbol{v_i} = \left(\sum_i m_i\right)\boldsymbol{u} = m \boldsymbol{u}.

La risultante sarà un sitema equivalente al primo se il momento rispetto ad un punto sarà lo stesso. Per saperne di più sul prodotto vettoriale consultare la pagina web di Wolfram.

Il momento del sistema di vettori paralleli è la somma dei vettori prodotto tra il vettore \boldsymbol{OP_i} ed il vettore \boldsymbol{v_i}:

\displaystyle \boldsymbol{M} = \sum_i \boldsymbol{OP_i} \times \boldsymbol{v_i} = \sum_i m_i \boldsymbol{OP_i} \times \boldsymbol{u}.

Il momento rispetto allo stesso polo della risultante \boldsymbol{V}, indicando con C il punto di applicazione della risultante, è:

\displaystyle \boldsymbol{M}=\boldsymbol{OC} \times \boldsymbol{V} = m \boldsymbol{OC} \times \boldsymbol{u}.

L’uguaglianza dei due momenti impone l’uguaglianza dei vettori primi termini del prodotto così che otteniamo la relazione:

\displaystyle m \boldsymbol{OC} = \sum_i m_i \boldsymbol{OP_i}.

Da quì è possibile trovare il punto di applicazione C, detto centro dei vettori, della risultante \boldsymbol{V}, riscrivendo la precedente relazione vettoriale per ciascuna componente relativa ad una terna cartesiana O, x, y, z di riferimento, se facciamo coincidere il polo O con l’origine otteniamo:

\displaystyle m \, x_c = \sum_i m_i x_i,

\displaystyle m \, y_c = \sum_i m_i y_i,

\displaystyle m \, z_c = \sum_i m_i z_i.

I secondi membri delle equazioni scritte sopra sono i momenti statici rispetto ai piani coordinati di un sistema puntiforme m_i, corrispondenti alle componenti del momento risultante del sistema stesso.

I momenti statici discendono quindi dal principio di equivalenza di un sistema di vettori paralleli con un unico vettore risultante.

Da qui il passo per giungere al baricentro è semplice. Basta introdurre un campo gravitazionale omogeneo e considerare quale sistema di vettori paralleli le forze peso. In questo caso le componenti m_i hanno valore solo positivo essendo le singole masse (a meno di non considerare corpi di antimateria!), m sarà la massa complessiva ed il centro C diventerà il baricentro G.

Le forze peso sono infatti m_i g dove g è l’accelerazione gravitazionale che è costante pertanto nelle relazioni scompare e rimane solo la massa.

Per i sistemi continui occorre introdurre il calcolo integrale considerando il valore della massa in funzione della densità \delta ovvero scrivendo in differenziali dm = \delta \, dV. I momenti statici si scriveranno come integrali di x dm = x \delta dV. Ulteriore classica semplificazione è assumere la densità costante, e scrivere in definitiva le coordinate del baricentro di un corpo di volume V:

\displaystyle V x_G = \int_V x \, dV,

\displaystyle V y_G = \int_V y \, dV,

\displaystyle V z_G = \int_V z \, dV.

Grazie per l’attenzione. Alla prossima!!!

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